Desafio de Matemática #6 – Realmente difícil.

As regras são simples, o desafio, nem tanto.

Desafio: Quantos caminhos diferentes o Sonic pode usar para chegar ao final da fase (placa)?

Regras: Ele só pode se mover de duas formas. Ou uma casa para baixo ou uma casa para direita. Por exemplo, uma das opções é: Direita, Direita, Direita, Direita, Baixo, Baixo, Baixo e Baixo.

Não é preciso dizer quais são as opções dele, apenas de quantos modos diferente ele pode fazer o percusso.

Para mais desafios como este, acesse: Desafios de Matemática

 

 

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RESPOSTA

 

Essa questão pode ser resolvida por Permutação com Repetição. O Sonic sempre completará o percurso em 8 movimentos sendo 4 deles Horizontal (Direita) e 4 deles Vertical (Baixo).

Alguns exemplos:

H H H H V V V V

H V H V H V H V

V V H H V V H H

A maneira simples de resolver o problema é saber de quantas formas essa palavra de oito letras pode permutar. Para isso é necessário usar a permutação com repetição, pois o H se repete 4 vezes e o V também.

 

 

Outra forma de resolver é o método que o herbertlo do blog uma semana, uma história escolheu para resolver. Bastando escrever em cada casa a quantidade de caminhos possíveis para o Sonic alcançá-lo. Depois de resolver a primeira linha (horizontal) e a primeira coluna (vertical), basta somar o número que está acima ao número que está a esquerda. Vou tentar exemplificar de uma maneira melhor.

A quadrado que o Sonic se encontra é nulo, já que ele começa por ele e não chega a ele.

0 _ _ _ _ 
_ _ _ _ _ 
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _

Já a primeira linha ele só consegue completar por 1 caminho (Reto) e o mesmo serve para a primeira coluna. Fica assim:

0 1 1 1 1
1 _ _ _ _ 
1 _ _ _ _ 
1 _ _ _ _ 
1 _ _ _ _

A partir dai basta somar o número que está acima com o número da esquerda até chegar ao último número, o local onde está a placa.  Segue um passo a passo:

a) 0 1 1 1 1 
   1 2 _ _ _ 
   1 _ _ _ _ 
   1 _ _ _ _ 
   1 _ _ _ _

b) 0 1 1 1 1 
   1 2 3 _ _ 
   1 3 _ _ _ 
   1 _ _ _ _ 
   1 _ _ _ _

c) 0 1 1 1 1 
   1 2 3 4 _ 
   1 3 6 _ _ 
   1 4 _ _ _ 
   1 _ _ _ _
D) Dessa forma basta continuar a soma para chegar ao resultado a seguir:

00 01 01 01 01 
01 02 03 04 05 
01 03 06 10 15 
01 04 10 20 35 
01 05 15 35 70

Também trazendo o resultado 70.